Geometry

1408 Submissions

[4] viXra:1408.0200 [pdf] submitted on 2014-08-28 16:04:49

Sistemas C-Ortocéntricos Y Circunferencia de Feuerbach Para Cuadriláteros en Planos de Minkowski (C-Orthocentric Systems and Feuerbach Cricle for Cuadrangles in Minkowski Planes)

Authors: Tobías de Jesús Rosas Soto
Comments: 16 Pages. Artículo en español, con resumen en inglés. Contiene ecuaciones, y 8 figuras, a color para mejor comprensión.

Se presenta el estudio de propiedades geométricas de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, en un plano de Minkowski. Se estudian las relaciones entre los cuatro triángulos formados por los vértices del cuadrilátero, sus antitriángulos y puntos de simetría, sus baricentros y otros puntos asociados con dichos triángulos, respectivamente. Se introduce la noción de anticuadrilátero y se extiende la noción de circunferencia de Feuerbach de un cuadriláteros, inscritos en una circunferencia, a planos de Minkowski en general. --- The study of geometric properties of a inscribed quadrangle in a circle, in a Minkowski plane is presented. We study the relations between the four triangles formed by the vertices of the quadrangle, its anti-triangles and points of symmetry, its barycenters and other points associated with such triangles, respectively. The notion of anti-quadrangle is introduced and extends the notion of Feuerbach circle for quadrangles, inscribed in a circle, to Minkowski planes in general.
Category: Geometry

[3] viXra:1408.0191 [pdf] replaced on 2014-08-31 13:31:01

C-Ortocentros Y Sistemas C-Ortocéntricos en Planos de Minkowski (C-Orthocenters and C-Orthocentric Systems in Minkowski Planes)

Authors: Tobías de Jesús Rosas Soto
Comments: 17 Pages. Artículo en español, con resumen en inglés. Contiene ecuaciones, y 13 figuras, a color para mejor comprensión.

Usando la noción de C-ortocentro se extienden, a planos de Minkowski en general, nociones de la geometría clásica relacionadas con un triángulo, como por ejemplo: puntos de Euler, triángulo de Euler, puntos de Poncelet. Se muestran propiedades de estas nociones y sus relaciones con la circunferencia de Feuerbach. Se estudian sistemas C-ortocéntricos formados por puntos presentes en dichas nociones y se establecen relaciones con la ortogonalidad isósceles y cordal. Además, se prueba que la imagen homotética de un sistema C-ortocéntrico es un sistema C-ortocéntrico. --- Using the notion of C-orthocenter, notions of the classic euclidean geometry related with a triangle, as for example: Euler points; Euler’s triangle; and Poncelet’s points, are extended to Minkowski planes in general. Properties of these notions and their relations with the Feuerbach’s circle, are shown. C-orthocentric systems formed by points in the above notions are studied and relations with the isosceles and chordal orthogonality, are established. In addition, there is proved that the homothetic image of a C-orthocentric system is a C-orthocentric system.
Category: Geometry

[2] viXra:1408.0143 [pdf] submitted on 2014-08-22 00:31:22

Sistemas C-Ortocéntricos, Bisectrices Y Euclidianidad en Planos de Minkowski (C-Orthocentric Systems, Angular Bisectors and Euclidianity in Minkowski Planes)

Authors: Tobías de Jesús Rosas Soto
Comments: 17 Pages. Artículo en español, con 4 figuras presentadas de a pares. Título y resumen en español e ingles.

Mediante el estudio de ciertas propiedades geométricas de los sistemas C-ortocéntricos, relacionadas co las nociones de ortogonalidad (Birkhoff, isósceles, cordal), bisectriz (Busemann, Glogovskij) y línea soporte a una circunferencia, se muestran nueve caracterizaciones de euclidianidad para planos de Minkowski arbitrarios. Tres de estas generalizan caracterizaciones dadas para planos de Minkowski estrictamente convexos en [8, 9], y las otras seis son nuevos aportes sobre el tema. -- By studying certain geometric properties of C-orthocentric systems related to the notions of orthogonality (Birkhoff, isosceles, chordal), angular bisectors (Busemann, Glogovskij) and support line to a circumference, shows nine characterizations of the Euclidean plane for arbitrary Minkowski planes. Three of these generalized characterizations given for strictly convex Minkowski planes in [8, 9], and the other six are new contributions on subject.
Category: Geometry

[1] viXra:1408.0070 [pdf] submitted on 2014-08-11 13:11:29

On Moments of Sets Bounded by Subdivision Surfaces

Authors: Jan Hakenberg, Ulrich Reif, Scott Schaefer, Joe Warren
Comments: 21 Pages.

The volume enclosed by subdivision surfaces, such as Doo-Sabin, Catmull-Clark, and Loop has recently been derived. Moments of higher degree d are more challenging because of the growing number of coefficients in the (d+3)-linear forms. We derive the intrinsic symmetries of the tensors, and thereby reduce the complexity of the problem. Our framework allows to compute the 4-linear forms that determine the centroid defined by Doo-Sabin, and Loop surfaces, including Loop with sharp creases. For Doo-Sabin surfaces, we also establish the tensors of rank 5 that determine the inertia for valences 3, and 4. When the subdivision weights are rational, the centroid, and inertia are obtained in exact, symbolic form. In practice, the formulas are restricted to meshes with a certain maximum valence of a vertex.
Category: Geometry