Algebra

Introduction to Clifford’s Geometric Algebra

Authors: Stephane Breuils, Kanta Tachibana, Eckhard Hitzer
Comments: 10 Pages. To accompany "New Applications of Clifford’s Geometric Algebra" by the same authors.

A brief application-oriented introduction to W.K. Clifford's geometric algebras, including conformal geometric algebra (CGA).
Category: Algebra

A New Solvable Quintic Equation of the Bring Jerrard Form X^5 + ax + B = 0

Authors: Quang Nguyen Van
Comments: 2 Pages.

In the previous post, we gave one more irreducible equation of the shape x^5 + ax^2 + b = 0, which is solvable. In this paper, we give an irreducible equation of the shape x^5 + ax + b = 0, which is also solvable, contrary to some available arguments.
Category: Algebra

Бивекторная алгебра (Bivector Algebra)

Authors: S. Y. Kotkovsky
Comments: 17 Pages. In Russian

В настоящей работе изучается алгебра икватернионов ненулевой меры с их главной подалгеброй в виде комплекснозначных трехмерных векторов, которые в свою очередь подразделяются на моновекторы и бивекторы. Исследуются свойства комплексных векторов аналогичные параллельности и ортогональности обычных вещественных векторов. Найдены векторные структуры, цикличные относительно произведения, и доказана теорема о тождественности векторного цикла и ориентированного базиса. Как мы выяснили, базисы комплексного векторного пространства так же, как и в вещественном случае распадаются на две ориентации, непереводимые друг в друга непрерывными преобразованиями. Сравнение свойств бивекторов и нульвекторов при унитарных преобразованиях и их циклических структур позволяет говорить об однозначном соответствии этих алгебр заряженным частицам и свету. Тем самым даётся алгебраическое обоснование ключевого для физики векторного характера электромагнитного поля.

In this paper, we study the algebra of nonzero measure icaternions with their principal subalgebra in the form of complex-valued three-dimensional vectors, which in turn are subdivided into monovectors and bivectors. The properties of complex vectors similar to the parallelism and orthogonality of ordinary real vectors are investigated. Vector structures that are cyclic with respect to the product are found, and a theorem on the identity of a vector cycle and an oriented basis is proved. As we have found out, the bases of the complex vector space, as in the real case, split into two orientations, which cannot be translated into each other by continuous transformations. Comparison of the properties of bivectors and zero vectors under unitary transformations and their cyclic structures allows us to speak about the unambiguous correspondence of these algebras to charged particles and light. Thus, an algebraic substantiation of the key vector nature of the electromagnetic field for physics is given.
Category: Algebra